peanosches Axiomensystem

peano|sches Axiomensystem,

 

Peano-Axiome, das von G. Peano 1889 angegebene Axiomensystem für die natürlichen Zahlen, das im Wesentlichen auf der Nachfolgerrelation (Nachfolger) aufbaut. Informal und leicht verändert (Peano hatte neun Axiome) besagt dieses:

 

1) 1 ist eine natürliche Zahl.

 

2) Jede natürliche Zahl n besitzt einen eindeutig bestimmten Nachfolger N (n).

 

3) 1 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl.

 

4) Jede natürliche Zahl ist Nachfolger höchstens einer natürlichen Zahl.

 

5) Ist M eine Teilmenge der natürlichen Zahlen ℕ mit den Eigenschaften: a) 1 ∈ M, b) mit m ∈ M ist auch N (m) ∈ M, so ist M gleich ganz ℕ. Dieses Axiom wird als Induktionsaxiom bezeichnet; es ist die Grundlage des Beweisverfahrens der vollständigen Induktion.

 

Wird die Null mit zu den natürlichen Zahlen gerechnet, muss in diesen Axiomen stets 1 durch 0 ersetzt werden.